齐次坐标
问题
在几何空间中，同一平面上的两条平行线不能相交，或者不会相遇，这是大家都知道的一个常识。 但是，在投影空间中就有了另一种见解，例如，你站在铁轨的一头，向另一头望去，铁轨是越来越窄的，最后，两条平行的轨道在地平线相遇，这是一个无限远的点。 笛卡尔空间描述了我们的2D / 3D几何形状，但它们不足以处理投影空间（实际上，欧氏几何是投影几何的一个子集）。2D点的直角坐标可以表示为（x，y）。
如何理解无限远呢？
无限远点为（∞，∞）， 在欧几里德空间中变得毫无意义。平行线应该在投影空间无限远地满足，但在欧几里德空间中无法做到。数学家已经发现了一个解决这个问题的方法。
解决方案：齐次坐标
均匀坐标可以在投影空间中对图形和几何进行计算。均匀坐标是用N + 1数字表示N维坐标的方式。
为了使2D均匀坐标，我们只需在现有坐标中添加一个附加变量w即可。因此，在笛卡尔坐标（X，Y）中的点在均匀坐标中变为（x，y，w）。和X和Ÿ在笛卡尔与重新表示X，Y和W ^齐次的; X = x / w Y = y / w
例如，均匀的笛卡尔（1,2）中的点变为（1，2，1）。如果一点，（1，2）， 向无穷远移动，在笛卡尔坐标中变为（∞，∞）。由于（1/0，2/0）≈（∞，∞），在均匀坐标中变为（1，2，0）。注意，我们可以在无穷远的情况下表达点，而不使用“∞”。
为什么叫“齐次”？
如前所述，为了将齐次坐标（x，y，w）转换为笛卡尔坐标，我们简单地将x和y除以w ;
将齐次转换为笛卡儿，我们可以找到一个重要的事实。我们来看下面的例子。
正如你所看到的，点（1,2,3），（2,4,6）和（4,8,12）对应于相同的欧几里德点（1/3,2/3）。任何标量积（1a，2a，3a）与欧几里德空间中的（1/3，2/3）相同。因此，这些点是“均匀的”，因为它们在欧氏空间（或笛卡尔空间）中代表相同的点。换句话说，齐次坐标是尺度不变量。
证明：两条平行线可以相交
考虑欧几里德空间是线性;
我们知道由于C≠D，上述方程式没有解决办法。 如果C = D，则两行相同（重叠）。
我们通过将x和y分别替换为x / w，y / w来重写投影空间的方程。
现在，我们有一个解（x，y，0），因为（C-D）w = 0，∴w = 0。因此，两个平行线在（x，y，0）处相交，这是无限远的点。